Probabilité conditionnelle.

Définition

Définition

Soit \( \Omega \) un espace de probabilité, A et B deux événements de \( \Omega \) On définit la probabilité de A sachant B par :$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$.

On a donc :$$ P(A \cap B) = P_B(A)×P(B) $$

Définition

Deux événements sont indépendants ssi $$ P(A)×P(B) = P(A \cap B) $$

Arbre pondéré

Les probabilités conditionnelles se représentent dans un arbre pondéré.

Exemple

On dispose de deux sacs numéroté 1 et 2, dans le premier il y a 8 jetons rouges et 2 bleus, dans le sac 2 il y a 2 rouges et 3 bleus.

On choisit au hasard un des deux sacs avec la même chance, puis un jeton dans le sac choisi. On considère deux événements :

L'arbre est :

$$P(U) = 0.5 $$ $$ P(\overline{U}) = 0.5$$ $$P_U(R) = 0.8 \text{On a 8/10 d'avoir un jeton rouge SI on a le sac 1 } $$ $$P_U(\overline{R}) = 0.2 \text{Probabilité d'avoir non rouge donc bleu si on choisit le sac 1 } $$ $$P_{\overline{U}}(R) = 0.8 \text{On a 8/10 d'avoir un jeton rouge SI on a le sac 1 } $$ $$P_{\overline{U}}(\overline{R}) = 0.2 \text{Probabilité d'avoir non rouge donc bleu si on choisit le sac 1 } $$

Proposition

La somme des probabilités qui partent d'un nœud est égale à 1.

Lien entre tableau croisé.

Dans une classe, on pose la question de savoir si un élève fait du latin (L) et s'il fait de l'espagnol (E). On regroupe les informations dans un tableau croisé :

Latin Anglais \(A\) \(\overline{A}\) Total
\(L\) 5 10 15
\(\overline{L}\) 8 10 18
Total 13 20 33

On choisi au hasard un élève, Soit A l'événement il fait de l'anglais et L il fait du latin, on obtient les deux arbres :

Formule des probabilités totales

On reprend l'exemple précédent, on peut arriver à B de deux façons, en passant par \(A\) et par \(\overline{A} \). Pour avoir la probabilité de B il faut faire la somme des deux chemins c'est ce qu'on nomme la formule des probabilités totales.

Proposition

$$P(B) = P_{A}×P_{A}(B) + P(\overline{A})(P_{\overline{A}}(B) $$

Exemple

Si on souhaite connaître la probabilité d'avoir un jeton rouge

$$P(R) = P(U)×P_{U}(R) + P(\overline{U})(P_{\overline{U}}(R) $$ $$P(R) = 0.5 × 0.8 + 0.5 × 0.4 = 0.4 + 0.2 = 0.6 $$

Indépendance de deux événements.

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si :

$$ P(A \cap B) = P(A) × P(B) $$

Si deux événements A et B sont indépendants :

$$ \begin{align} P_{A}(B)&= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} &= \frac{P(A) × P(B)}{P(A)} &= P(B) \end{align} $$

En clair avoir la réalisation de A n'influence pas la réalisation de B !