Complexe.

Écriture algébrique

Exemple

Un nombre complexe peut s'écrire sous la forme :

$$ z = a + ib $$

où a et b sont des réels. Le nombre a est sa partie réelle (Re(z)), b est sa partie complexe (Im(z)).

Exemple

Le nombre i d'affixe A est dit imaginaire pur car il n'y a pas partie réelle.

Le nombre 1 d'affixe B est dit réel car il n'y a pas partie imaginaire.

Exemple $$ z = (2+3i)(4-2i) = 8 + 12i - 4i - 6i² = 8 +8i + 6 = 14 +8i$$ $$ z = \frac{1-i}{2+3i} = \frac{(2-3i)(1-i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{2 -2i -3i - 3}{4+-6i+6i+9} = \frac{-1-5i}{13}$$

Essayez de placer les affixes de 10 nombres complexes le plus rapidement possible.

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib (a et b réels) est le nombre z = a - ib.

Module et argument

Définition

Soit z un nombre complexe d'image M(z) dans le plan munit d'un repère orthonormé. La distance OM est appelée module de z noté |z|, une mesure de l'angle $ ( \vec{OA},\vec{OM} ) $ est appelé argument de z noté arg(z).

Proposition

Si l'écriture algébrique de z est a + ib et si $ \phi $ est une argument de z alors :

$$ |z| = \sqrt{a² + b²}$$ $$ a = Re(z) = |z|cos(\phi)$$ $$ b = Im(z) = |z|sin(\phi)$$ $$ arg(\bar{z}) = -arg(z)$$ $$ |\bar{z}| = |z| $$ $$ |zz'| = |z||z'| $$ $$ arg(zz') = arg(z)+arg(z') $$ $$ arg(\frac{z}{z'}) = arg(z)-arg(z') $$

Forme trigonométrique

Définition

Soit z un nombre complexe, son écriture trigonométrique est : $$ z = |z|(cos(arg(z))+isin(arg(z))) $$

angle	cos	sin
0	1	0
$\frac{\pi}{6} (30°)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{4} (45°)$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3} (60°)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{2} (90°)$	0	1

Exemple $$\begin{aligned} 2 - 2i &= \sqrt{8} (\frac{2}{\sqrt{8}} - \frac{2}{\sqrt{8}}i) \text{On calcul le module et on le place en facteur}\\ &= 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i ) \text{On essaye de reconnaître les cos et sin de base} \\ &= 2\sqrt{2} (cos(- \frac{\pi}{4}) + sin(- \frac{\pi}{4})) \\ \end{aligned} $$

Forme exponentielle

Il existe une autre façon d'écrire un nombre complexe la forme exponentielle, son avantage et bien faire apparaître les propriétés de l'argument.

Définition

Soit z un nombre complexe, son écriture exponentielle est $$|z| e^{iarg(z)}$$

Proposition

a est un réel et z = e^{a i} :

$$ z = e^{a i} = cos(a) + isin(a) $$ $$ cos(a) = Re(z) $$ $$ sin(a) = Im(z) $$

A vous de placer les points.

La forme exponentielle est adaptée à la multiplication !

Proposition $$ |z_1|e^{ai} × |z_2|e^{bi} = |z_1|×|z_2| e^{(a+b)i} $$ $$ \frac{|z_1e^{ai}}{|z_2|e^{bi}} = \frac{|z_1|}{|z_2|} e^{(a-b)i} $$ $$ (e^{ai})^n = e^{nai} $$ $$ \frac{1}{e^{ai}} = e^{-ai} $$

Formules d'addition

Proposition $$ cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) $$ $$ cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) $$ $$ sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) $$ $$ sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) $$

Démonstration $$ \begin{aligned} cos(a+b) &= Re(e^{(a+b)i}) \\ &= Re(e^{ai} × e^{bi}) \\ &= Re((cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b))) \\ &= Re(cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b)) \\ &= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) \end{aligned}$$

Proposition $$ cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) $$ $$ sin(2a) = 2sin(a)cos(a) $$

Exemple $$ \begin{aligned} cos(wt) + \sqrt{3}sin(wt) &= 2(\frac{1}{2}cos(wt) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(wt)) \\ &= 2(cos(\frac{2\pi}{3})cos(wt) + sin(\frac{2\pi}{3})sin(wt)) \\ &= 2cos(wt - \frac{2\pi}{3}) \\ \end{aligned}$$

angle	cos	sin
0	1	0
\(\frac{\pi}{6} (30°)\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\pi}{4} (45°)\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\pi}{3} (60°)\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\pi}{2} (90°)\)	0	1