Généralité sur les fonctions.

Rappels des formules de dérivation de première.

En bleu les formules qui auront du sens plus tard dans l'année.

Les bases

f(x)f'(x)
k (Constante)0
x1
x²2x
x33x2
xnnxn-1
\( \frac{1}{x} \)\( \frac{-1}{x^2} \)
\( \sqrt{x} \)\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
cos(x)-sin(x)
sin(x)cos(x)
exex
ln(x)\( \frac{1}{x} \)

Les formules des opérations

f(x)f'(x)
ku(x) (k Constante)k × u'(x)
u(x) + v(x)u'(x) + v'(x)
u(x)v(x)u'(x)v(x) + v'(x)u(x)
\( \frac{1}{u(x)} \)- \( \frac{u'(x)}{u^2(x)} \)
\( \frac{u(x)}{v(x)} \)\( \frac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{v^2(x)} \)
\( u°v(x) = u(v(x)) \)\( v'(x)u'(v(x)) \)
Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & 2x^3 + 3x² + 2x + 5 \\ \end{array}$$

f est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est :

$$ f'(x) = 2 × (3x²) + 3 × (2x) + 2 × 1 + 0 = 6x² + 6x + 2 $$ $$\begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & (2x+1)sin(x) = u(x)×v(x) \\ \end{array}$$

Avec u(x) = (2x+1) et v(x) = sin(x) u et v sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et u'(x) = 2 et v'(x) = cos(x), donc g est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

$$ g'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = 2sin(x) + (2x+1)cos(x) $$ $$\begin{array}{ccccc} h & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{1}{x²+1} = \frac{1}{u(x)} \\ \end{array}$$

Avec u(x) = x²+1 u est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et u'(x) = 2, donc h est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

$$ h'(x) = -\frac{u'(x)}{u^2(x)} = - \frac{2x}{x²+1} $$ $$\begin{array}{ccccc} m & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{cos(x)}{sin(x)+2} = \frac{u(x)}{v(x)} \\ \end{array}$$

Avec u(x) = cos(x) et v(x) = sin(x)+2 est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et u'(x) = -sin(x) et v'(x) = cos(x), donc m est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

$$ h'(x) = -\frac{u'(x)v(x)- v'(x)u(x)}{v^2(x)} = - \frac{-sin(x)(sin(x)+2) - cos(x)×cos(x)}{(sin(x)+2)^2} $$

Primitive

Définition

Soit f une fonction d'ensemble de définition Df, une fonction F est une primitive de f si F est définie et dérivable sur Df et si F' = f.

Trouver une primitive est "l'inverse" de trouver une dérivation.

La lecture du tableau dans l'autre sens permet de calculer les primitives des fonctions. Néanmoins pour utiliser les formules du deuxième tableau il faut avoir des formes particulières, il est donc en général plus compliqué de trouver une primitive que de dériver.

Pour trouver la primitive, il faut lire le tableau des dérivés dans l'autre sens.

f(x)F(x)
0k (Constante)
1x
x\( \frac{1}{2} \) x²
x2\( \frac{1}{3} \)x3
xn\( \frac{1}{n+1} \)xn+1
\( \frac{1}{x^2} \)\( \frac{-1}{x} \)
\( \frac{1}{\sqrt{x}} \)\( 2\sqrt{x} \)
cos(x)sin(x)
sin(x)-cos(x)
exex
Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & 2x^3 + 3x² + 2x + 5 \\ \end{array}$$

Une primitive de f sur \( \mathbb{R} \) est $$ F(x) = \frac{2}{4}x^4 + \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 + 5x + k = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x² + 5x +k $$

$$\begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & 7\cos{x} + 8\sin{x} \\ \end{array}$$

Une primitive de g sur \( \mathbb{R} \) est $$ G(x) = 7\sin{x} - 8\cos{x} $$

Composition

Définition

Soit f et g deux fonctions, Df et Dg leurs ensembles de définition et tels que pour tout x dans Dg, g(x) est dans Df. On définie la fonction f ° g ( f composé par g ) par

$$\begin{array}{ccccc} f °g & : & \mathbb{Dg} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & f(g(x)) \\ \end{array}$$
Proposition

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) alors f = u°v est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et f'(x) = v'(x) × u'(v(x)).

Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \sin(x²+2) = u(v(x)) \\ \end{array}$$

Avec u(x) = sin(x) et v(x) = x²+2, u et v sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et u'(x) = cos(x) et v'(x) = 2x donc f est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

$$ f'(x) = v'(x) u'(v(x)) = 2x cos(x²+1) $$

Les formules suivantes sont des cas particuliers de la formule générale, elles couvrent les cas classiques.

f(x)f'(x)
\( \frac{1}{u(x)} \)- \( \frac{u'(x)}{u^2(x)} \)
\( u(ax+b) \) \( a u'(ax+b) \)
\( u^n(x) \) \( n u'(x)u^{n-1}(x) \)
Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & (2x+4)^3 \\ \end{array}$$

Trois choix :

  1. f(x) = u(v(x)) avec u(x) = x3 et v(x) = 2x+4 f'(x) = v'(x)u'(v(x)) = 2(3(2x+4)²)
  2. f(x) = u(ax+b) avec u(x) = x3 et a = 2 et b = 4 f'(x) = au'(ax+b) = 2(3(2x+4)²)
  3. f(x) = un(x) avec u(x) = 2x+4 et n = 3, f'(x) = nu'(x)un-1(x) = 3(2(2x+4)²)

On peut inverser la formule pour trouver des primitives.

Proposition

Si f(x) = v'(x) × u'(v(x)) où u et v sont deux fonction dérivables sur \(\mathbb{R}\) alors f a pour primitive F(x) = u(v(x)).

Exemple

f(x) = 2cos(2x-1) = v'(x) u'(v(x)) avec v(x) = 2x-1 v'(x) = 2 u'(x) = cos(x) u(x) = sin(x), donc f admet une primitive et F(x) = sin(2x-1)

Si on a v' a une constante près ce n'est pas grave :

Exemple

g(x) = xcos(x²) = \(\frac{1}{2}\) × 2cos(x²) = \(\frac{1}{2}\) v'(x)u'(v(x)) avec v(x) = x² v'(x) = 2x, u'(x) = cos(x) et u(x) = sin(x).

G a pour primitive G(x) = \(\frac{1}{2}\) sin(x²)

Limite

Limite finie en \( +\infty \) ou \( -\infty \)

Définition

Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme ]a ; \( +\infty \)[ et l un réel, "si f(x) devient aussi proche que l'on veut dès que x est assez grand" alors on dit que f a une limite égale à l en \( +\infty \) et on note : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = l $$

On définit de facon analogue la limite finie en \( -\infty \)

Exemple

La fonction inverse est l'exemple typique d'une fonction qui a une limite finie en \( +\infty \)

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 $$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 $$

y = 0 est une asymptote horizontale de la courbe représentative de f.

Limite infinie en \( +\infty \) ou \( -\infty \)

Définition

Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme ]a ; \( +\infty \)[ "si f(x) devient aussi grand que l'on veut dès que x est assez grand" alors on dit que f a une limite égale à \( +\infty \) en \( +\infty \) et on note : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$

Exemple

Les fonctions polynômes sont des exemples classiques de fonctions qui ont une limite \( + ou -\infty \) en \( + ou - \infty \)

Limite infinie en un réel.

Définition

Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle de la forme ]a ; a + \( \epsilon \)[, "si f(x) devient aussi grand que l'on veut dès que x est assez proche de a mais en rstant au dessus" alors on dit que f a une limite égale à \( +\infty \) en a+ et on note : $$ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = +\infty $$

Exemple

La fonction inverse est la fonction type d'une fonction qui admet une limite infinie en un point.

Limites de référence

fonction sin et cos

Les fonction sinus et cosinus n'ont pas de limite en \( +-\infty \).

Fonction xn

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $$

Pour \( -\infty \) il faut tenir compte de la parité de n.

l'entier n est pair

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $$

l'entier n est impair

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $$

Opération sur les limites

Pour déterminer la limite des fonctions on peut utiliser des propriétés sur les limites. Dans les tableaux a représent un réel ou \( +\infty \) ou \( -\infty \)

Somme

\(\lim_{x \to a} f(x) = \)l ll\( +\infty \)\( +\infty \)\( -\infty \)
\(\lim_{x \to a} g(x) = \)l' \( +\infty \)\( -\infty \)\( +\infty \)\( -\infty \)\( -\infty \)
\(\lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \)l + l' \( +\infty \)\( -\infty \)\( +\infty \)F.I.\( -\infty \)

Produit

\(\lim_{x \to a} f(x) = \)l l > 0l > 0l < 0 l < 0 00\( +\infty \)\( +\infty \)\( -\infty \)
\(\lim_{x \to a} g(x) = \)l' \( +\infty \)\( -\infty \)\( +\infty \)\( -\infty \) \( +\infty \)\( +\infty \)\( +\infty \)\( -\infty \)\( -\infty \)
\(\lim_{x \to a} f(x) × g(x) = \)l × l' \( +\infty \)\( -\infty \)\( -\infty \)\( +\infty \)F.I.F.I.\( +\infty \)\( -\infty \)\( +\infty \)

Inverse

\(\lim_{x \to a} f(x) = \)l l = 0 et f(x) >0l = 0 et f(x) < 0\( +\infty \) \( -\infty \)
\(\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = \)\( \frac{1}{l} \) \( +\infty \)\( -\infty \)00

Le cas des formes indéterminées sont problématiques, en \( +-\infty \) vous pouvez retenir que

$$ {\color{blue}{ln(x)}} < \sqrt{x} < x < x² < x^3 < ... < \color{blue}{e^x} $$
Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & x^{3} + 3x² + 2x + 1 \\ \end{array}$$

Limite en \( +\infty \)

\(\lim_{x \to +\infty} x^{3} = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} 3x^{2} = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty \text{ donc } \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

Limite en \( -\infty \)

Malheureusement on tombe ici sur une forme indéterminée, on exhibe le terme dominant :

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty $$

Pour une démonstration plus évoluée, il faut alors modifier l'écriture, et mettre le "dominant" en facteur.

\( f(x) = x^{3}(1 + \frac{3x²}{x^{3}} + \frac{2x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}) = x^{3}(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}) \)

La forme indéterminée disparaît !

\(\lim_{x \to -\infty} x^{3} = -\infty \text{ et } \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{3x²}{x^{3}} + \frac{2x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 \text{ donc } \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty \)