Fonction logarithme.

Définition

Pour a strictement positif, on défini ln(a) comme l'unique solution de l'équation e^a

La fonction exponentielle est strictement positive, il n'existe donc pas de solution à l'équation e^x = a si a négatif ou nul.

Exemple

Comme e⁰ = 1 et e¹=e (environ 2.71), on peut donc dire ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Remarque

La fonction exponentielle est strictement positive, il n'existe donc pas de solution à l'équation e^x = a si a négatif ou nul.

ln(a) ne de sens que si a est strictement positif !, un peu comme la racine (pire racine de 0 à du sens).

Définition

On définit la fonction logarithme népérien par :

$$\begin{array}{ccccc} ln & : & \mathbb{R}_+^* & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & ln(x) \\ \end{array}$$

Proposition

Si x est un réel : ln(exp(x)) = x

Si x est strictement positif, exp(ln(x)) = x.

Exemple

Résoudre :

$$ \begin{align} e^{x+5} &= 3 \\ ln(e^{x+5}) &= ln(3) \\ x + 5 &= ln(3) \\ x &= ln(3) - 5 \end{align} $$

Attention à ne pas vous faire piéger :

$$ \begin{align} e^{x} &= -1 \end{align} $$

N'a pas de solutions car exp est toujours strictement positive ! (ln(-1) n'a pas de sens)

On peut aussi résoudre des équation en ln :

Résoudre :

$$ \begin{align} ln(x+1) &= 5 \\ e^{ln(x+1)} &= e^5 \\ x + 1 &= e^5 \\ x &= e^5 - 1 \\ \end{align} $$

Résoudre :

$$ \begin{align} ln(x) &= 3ln(x) + 4 \\ -2ln(x) &= 4\\ ln(x) &= -2 \\ e^x &= e^{-2} \\ \end{align} $$

Graphique

Dérivation

Proposition

Le logarithme est dérivable sur $ \mathbb{R_{+}^{*}} $ et :$$ ln(x)' = \frac{1}{x}$$

Elle est donc très simple à dériver ! On peut évidement la coupler avec la formule de la composition.

Proposition

Si u est une fonction dérivable et strictement positive: $$(\ln(u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)} $$

Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & ln(x²+ 2) \\ \end{array}$$

x²+2 est toujours strictement positif donc f a un sens.

f(x) = ln(u(x)) avec u(x) = x² + 2, f est dérivable sur $\mathbb{R} $ et :

$$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x²+1}$$

Variation et signe.

Variation

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x&0&&+\infty& \\ \hline &&&+\infty \\ ln(x) && \nearrow & \\&-\infty&&& \\ \hline \end{array} $$

Donc quand on applique le ln (avec les précautions d'usage) on ne change pas le signe de l'inégalité.

Exemple $$ \begin{align} e^{x} &> 5 \\ ln(e^{x}) &> ln(5)\\ x &> ln(5) \\ \end{align} $$

Signe

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&0&&1&&+\infty& \\ \hline ln(x)&&-&0&+ \\ \hline \end{array} $$

Primitive

Comme toujours il n'existe pas de formule permettant de trouver toutes les primitives avec ln, mais comme toujours on va s'arranger pour que la chose soit possible dans vos épreuves.

Proposition

Si u est une fonction dérivable et si f(x) a pour forme :

$$f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} $$

Alors une primitive de f est F(x) = ln( |u(x)| ).

Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{3}{x} \\ \end{array}$$

$f(x) = 3 × \frac{u'(x)}{u(x)} $ avec u(x) = x

Une primitive de f sur $\mathbb{R}^*$ est F(x) = 3 ln(|u(x)|) = 3 ln(x)

Exemple $$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \frac{x}{x²+1} \\ \end{array}$$

$f(x) = \frac{1}{2} × \frac{2x}{x²+1)} = \frac{1}{2} × \frac{u'(x)}{u(x))} $ avec u'(x) = x²

Une primitive de f sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \frac{1}{2} × ln(|x²+1|) =\frac{1}{2} × ln(x²+1) $

Limites

De base :

Proposition

$$\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty $$ $$\lim_{x \to 0} ln(x) = -\infty $$

La "vitesse" où le logarithme tend vers $ \infty $ est extrêmement faible, ln(1000000000) est plus petit que 21 par exemple et ln(2000000000) plus petit que 22 ! D'où les croissances comparée :

Proposition

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x^n} = +\infty $$ $$\lim_{x \to 0} x^nln(x) = 0 $$

Propriétés

Les propriétés du logarithme sont les inverses des propriétés de l'exponentielle.

Proposition

Si a et b sont deux nombres strictement positifs :

$$ \begin{align} ln(a×b) &= ln(a) + ln(b) \\ ln(\frac{a}{b}) &= ln(a) - ln(b)\\ ln(a^n) &= nln(a) \\ ln(\sqrt(a)) &= \frac{1}{2}ln(a) \\ \end{align} $$

Exemple $$ ln(81) = ln(9^2) = 2 ln(9)$$ $$ln(\frac{3^9}{2^6}) = ln(3^9) - ln(2^6) = 9ln(3) - 6ln(2)$$ $$ln( \sqrt{7}) = \frac{1}{2}ln(7)$$ $$ln(10000 × e) = ln(10000) + ln(e) = ln(10000) + 1 $$

Fonctions log

ln est une fonction mathématiques, en physique on utilise une variante :

Définition

Le log est égal : $$log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)} $$

c'est donc presque le ln, pour augmenter de 1 ln il faut multiplier par e. Pour augmenter de 1 le log il faut de multiplier par 10 !

de façon général on définit log_p par:

Définition $$log_{p}(x) = \frac{ln(x)}{ln(p)} $$

En informatique on utilise log₂.

Les propriétés de calculs sont les mêmes que pour le ln (log(a×b) = log(a)×log(b),...), par contre : $$log(10) = 1$$ $$log(x)' = \frac{1}{ln(10)x}$$

Fonction puissance.

On peut donner simplement la puissance d'un entier 2³ (= 2×2×2) ou 2^(-3) ( = $\frac{1}{2×2×2}$ ), ainsi on peut déterminer la concentration h₃O⁺ d'une solution de PH = 3, [h₃O⁺] = 10^-pH = 10^-3 = 0.001 mol.l^-1 mais que vaut la concentration en h₃O⁺ d'une solution de pH = 3.3 ou même pire $\pi$ ? Avec le exp et le ln on peut étendre la définition de puissance :

Définition

Pour a strictement positif et x réel : $$ a^x = e^{xln(a)} $$

Exemple

On place 2000€ à la banque au taux annuel de 5%, pour mémoire on peut modéliser le capital n années plus tard par une suite géométrique u_n de raison 1.05 et de premier terme u₀ = 2000€. Au bout de combien d'année le capital double ?

Comme u est une suite géométrique de raison 1.05 et de premier terme u₀ = 2000, on a :

$$u_n = 2000 × 1.05^{n} $$

La question reviuent à résoudre :

$$ \begin{align} u_n &\geq 4000 // 2000×1.05^n &\geq 4000 \\ 1.05^n &\geq 2000 \\ ln(1.05^n) &\geq ln(2) \\ n×ln(1.05) &\geq ln(2) \\ n &\geq \frac{ln(2)}{ln(1.05)} \text{ Attention de bien vérifier que ln(1.05) positif ! } \\ n &\geq \approx{14.2} \\ \end{align} $$

Au bout de 15 ans le capital double !

Exemple

On place 2000€ à la banque au taux annuel de 5%, combien a t'on au bout de 2ans et 4mois ?

Si on se pose la question à un an deux ans, trois ans une suite géométrique marche très bien 2000 × 1.05ⁿ mais là 2ans et 4 mois représente $ \frac{7}{3} $ d'an ! On peut étendre la formule :

$$ 2000 × 1.05^{ \frac{7}{3} } = 2000 × e^{ln(1.05^{ \frac{7}{3} }} = 2000 × e^{\frac{7}{3}ln(1.05)} \approx 2241 $$

Exemple

On se pose une autre question, le taux annuel est de 5% mais le taux mensuel est de combien ? On résonne avec les coefficient multiplicateur si x est le coefficient mensuel on a :

$$ \begin{align} x^{12} &= 1.05 \\ ln(x^{12}) &= ln(1.05) \\ 12 ln(x) &= ln(1.05) \\ 12ln(x) &= ln(1.05) \\ ln(x) &= \frac{ln(1.05)}{12} \\ e^{ln(x)} &= e^{\frac{ln(1.05)}{12}} \\ x &= e^{\frac{ln(1.05)}{12}} x \approx 1.0041 \end{align} $$

Ce qui correspond à une augmentation d'environ 0.41% !